已知xyz均为实数,若x+y+z=1求证√3x+1√3y+2√3z+3

运用柯西不等式
(1^2+1^2+1^2)[(√3y+1)^2+(√3y+2)^2+(√3z+3)^2]≥[(√3x+1)(√3y+2)(√3z+3)]^2
取等号条件为
1/(√3x+1)=1/(√3y+2)=1/(√3z+3)
即x=2/3,y=1/3,z=0
因为x+y+z=1,
所以(1^2+1^2+1^2)[(√3y+1)^2+(√3y+2)^2+(√3z+3)^2]
=(1+1+1)×[(3(x+y+z)+1+2+3]=27
所以3√3≥(√3x+1)(√3y+2)(√3z+3)
即(√3x+1)(√3y+2)(√3z+3)≤3√3
x=2/3,y=1/3,z=0时取等号
得证!