急 已知函数f(x)在区间G上有定义,若对任意x1,x2∈G,

问题描述:

急 已知函数f(x)在区间G上有定义,若对任意x1,x2∈G,
已知函数f(x)在区间G上有定义,若对任意x1,x2∈G,有f(x1+x2/2)≤1/2[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为区间G上的凹函数.
判断下列函数是否为给定区间上的凹函数?并分别予以证明.
(1)f(x)=-2x²,x∈R.
(2)f(x)=2的x次方,x∈R.
1个回答 分类:数学 2014-11-05

问题解答:

我来补答
证明:(1)不是x∈R上的凹函数.
举反例即可.令x1=1,x2=-1,(x1+x2)/2=0,f(0)=0
1/2[f(x1)+f(x2)] = 1/2*(-2-2) = -2
此时,f(x1+x2/2)>1/2[f(x1)+f(x2)]
所以
f(x)不是x∈R上的凹函数.
(2)是凹函数.
证明如下:任取x1,x2∈R,f(1/2(x1+x2)) = 2^(1/2(x1+x2)),
1/2[f(x1)+f(x2)] = 1/2(2^x1 + 2^x2)>=2*(1/2)*(2^x1)*(2^x2) = 2^(x1+x2);
 
 
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