本人 李怀章 如果下面问题你有任何不明白的地方随时可以问我~数学这东西有人点你一下当你自己看几天的书了.其实无穷级数考试的问题不难,当然考研很难,一般都是压分题,所以你只要是应付期末考试还是不难的,不要有心理压力!
很多朋友都问过我一个和你一样的问题!书上写的什么逐项积分或者逐项求导乱七八糟的看不明白.
我用聊天的方式回答了他们的问题,因为用书面的方式回答你的问题太难懂了!说了等于不说!
现在我开始回答你的问题：
首先先肯定的说我们在中学遇到的数列就两种1、等差数列 2、等比数列 这个你是知道的...当时解决N项数列和的公式你一定是记得的!
1、等差数列
Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d
转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2
2、等比数列
Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
(n为比值,a为项数）
你知道这两个就证明幂级数你学是一点问题都没有了（高数上你高懂的情况下）
那现在问题是你不知道为什么要逐项求导和逐项积分了!
听好了,以前初等数学就是用一些初等变换去对式子变形——比如把原式变成两个等比或者等差数列,然后用等比等差数列求和公式求出原式的N项和.
现在高等数学就不好搞了,就不能用一些初等变换（比如分母有理化,比如分子加一减一等等）的方式去分成几项有规律的数列了,那么,我们现在怎么办?要回到高中我们就只有求神了.但是,当我们现在学了高等数学后,我们就可以通过求导或者积分的方式把他变成我们所了解的等比和等差数列了,那多爽,是吧!通过求导就回到高中!
不要去想什么逐项求导和逐项积分乱七八糟的,其实就是对通项求导或者积分.
先说求导：目的就是把我们不论用初等数学怎么变化都不能变成等比数列的式子变成等比数列!
注意观察：例如：S（X）=∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-1)]/n-1}
这个式子你用高中的方法去分成几项等比数列嘛,你一定会很悲剧的.通过观察：求一次导x^(n-1)的导数不就是（n-1）[x^(n-2)],分子的n-1不是可以和分母的n-1约掉啊!（ 注意了哈：逐项求导说的十分猥琐,其实就是对∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-1)]/n-1} 求导 ） 求导你要这样想n是常数,X是变量,对X求导（其实N就是常数,我怕你搞错了,我现在没有办法知道你的基础,所以当高中生在教）.求导以后的数列变成∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-2)], 求了导之后你展开：把N=2带进去等于1 把N等于3带进去等于（-X） 把N等于4带进去等于（X^2） 把5带进去等于（-x^3）.发现没有,求导之后的通项居然是个 q=(-x) a1=1 的等比数列!那我们的目的达到了!这个等比数列的求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 得：1/(1+x) |x|
