如图,M是Rt△ABC斜边CB中点,点P在AB上,且AP：PB=1:2,联结PM,QM⊥PM于M,交AC于Q点,求AQ/

设|BC|=a,|AC|=b,AQ/QC=m,则向量MQ=mMC+(1-m)MA,
AP/AB=1/3,∴MP=(1/3)MB+(2/3)MA,
MP⊥MQ,CM=MB,MA^2=MB^2=a^2/4,
∠AMB=2∠C,cosAMB=2(cosC)^2-1=2b^2/a^2-1,
∴0=MP*MQ=2(1-m)/3*MA^2+MA*[(2m/3)MC+(1-m)/3*MB]+(m/3)MB*MC
=2(1-m)/3*MA^2+MA*(1-3m)/3*MB-(m/3)MB^2
=(2-3m)/3*MA^2+(1-3m)/3*MA^2*cosAMB
∴2-3m+(1-3m)[2b^2/a^2-1]=0,
2b^2/a^2+1=6mb^2/a^2,
m=(a^2+2b^2)/(6b^2),为所求.