1
fX(x)=(1/√2π)e^(-x^2/2)
fY(y)=(1/√2π)e^(-y^2/2)
因为x,y独立,所以联合概率密度
所以
fXY(x,y)=fX(x)fY(y)=(1/2π)e^[-(x^2+y^2)/2]
2
对于这种商的概率密度,z=y/x,书上有公式,
f(z)=∫(-∞->+∞) |x|f(x,xz)dx
=∫(-∞->+∞) |x|(1/2π)e^[-(x^2+(xz)^2)/2]dx
=(1/π)∫(0->+∞) xe^[-(x^2+(xz)^2)/2]dx
=1/[π(1+z^2)]
下面求z和w的相关系数ρzw,
cov(z,w)=E(zw)-E(z)E(w)
=E(y^2/x)-E(y/x)E(y)
=E(y^2/x)
=E(y^2)E(1/x)
=0
【因为(1/x)f(x)是个关于x的奇函数
且,积分区域是对称的.
所以
E(1/x)=∫(-∞->+∞) (1/x)f(x)dx=0 】
所以相关系数ρzw=cov(z,w) / (V(z)V(w))^(1/2)=0
根据只要不相关的正态分布满足fZW(z,w)=f(z)f(w)
《正态分布,不一定要独立才满足这个关系,只要相关系数为0,就满足》
所以fZWf(z,w)=f(z)f(w)=[1/(1+z^2)](1/√2π)e^(-w^2/2)
=[1/((1+z^2)√2π^2)]e^(-w^2/2)
3
f(z)在2中已经得到了
f(z)=1/[π(1+z^2)]
