级数收敛设级数∑Un（n=1,2,…,∞)收敛,证明∑（-1)^n*Un/n不一定收敛,(-1)^n指-1的n次方.

只要举出反例即可.
令U(n)=(-1)^n/ln(n+1)（+1是为了保证n=1时有意义）,则U(n)是趋于零的交错数列,所以由Leibnitz判别法知∑U(n)收敛.
(-1)^n*U(n)/n=1/(n*ln(n+1)),它与1/((n+1)*ln(n+1))同敛散（商的极限为1）.对级数∑1/((n+1)*ln(n+1))用积分判别法：
∫[1,∞] 1/((x+1)*ln(x+1)) dx
=∫[2,∞] 1/(x*ln(x)) dx
=ln(ln(x))|[2,∞]
=∞,
所以∑(-1)^n*U(n)/n=∑1/(n*ln(n+1))发散.证毕