lg((a+b)/2)+lg((a+c)/2)+lg((c+b)/2)>=lga +lgb+lgc
(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc
用均值不等式就可以了：
a+b>=2√ab
b+c>=2√bc
c+a>=2√ca
三式相乘即得：
(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc
故原不等式成立,证毕.
如果非要用排序不等式的话,也可以的,直接代入乘积形式的排序不等式就行
参见下面的证明【思路跟证明排序不等式一样,调整法.】
（关于排序和的乘积的不等式）设有两组有序正数：
0＜a1≤a2≤…≤an,0＜b1≤b2≤…≤bn
则对于1,2…n的任一排列i1,i2,…in,有
(a1+b1)(a2+b2)…(an+bn)（同序和的乘积）
≤(a1+bi1)(a2+bi2)…(an+bin)（乱序和的乘积）
≤(a1+bn)(a2+bn-1)…(an+b1)（逆序和的乘积）
证明 ：若bi1≤bi2≤…≤bin,则bik=bk(k=1,2,…,n),那么,同序和的乘积=乱序和的乘积；
若bi1,bi2,…bin中至少有两个反序,不妨设bi1＞bi2那么
(a1+bi1)(a2+bi2)-(a1+bi2)(a2+bi1)=(a1-a2)(bi2-bi1)＞0.
由此,同序和的乘积＜乱序和的乘积.进而,若bi1,bi2,…,bin是全反序,则乱序和的乘积≤逆序和的乘积.
事实上,也可以用柯西不等式的推广【holder不等式】直接证明：
(a+b)(b+c)(c+a)>=（(abc)^(1/3)+(bca)^(1/3)）^3=8abc 【注意字母的顺序】
其实用最一般的想法也可以：A>=B A-B>=0
(a+b)(b+c)(c+a)-8abc
=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-6abc
=ab(a-c)+ac(a-b)+ba(b-c)+bc(b-a)+ca(c-b)+cb(c-a)
=b(a-c)^2+c(a-b)^2+a(c-b)^2
>=0
方法还有很多,楼主可以自己研究下.
