已知函数f（x）=|x|x+2．

（1）函数f （x）在区间（0，+∞）上，证明如下：
∵f（x）=
|x|
x+2，
∴当x＞0时，f（x）=1−
2
x+2
∵y＝
2
x+2在(0，+∞)上是减函数
∴f （x）在区间（0，+∞）上是增函数．（4分）
（2）原方程即：
|x|
x+2=kx²①
①由方程的形式可以看出，x=0恒为方程①的一个解．（5分）
②当x＜0且x≠-2时方程①有解，则
−x
x+2=kx²即kx²+2kx+1=0
当k=0时，方程kx²+2kx+1=0无解；
当k≠0时，△=4k²-4k≥0即k＜0或k≥1时，方程kx²+2kx+1=0有解．
设方程kx²+2kx+1=0的两个根分别是x₁，x₂则x₁+x₂=-2，x₁x₂=
1
k．
当k＞1时，方程kx²+2kx+1=0有两个不等的负根；
当k=1时，方程kx²+2kx+1=0有两个相等的负根；
当k＜0时，方程kx²+2kx+1=0有一个负根（8分）
③当x＞0时，方程①有解，则
x
x+2=kx²，kx²+2kx-1=0
当k=0时，方程kx²+2kx-1=0无解；
当k≠0时，△=4k²+4k≥0即k＞0或k≤-1时，方程kx²+2kx-1=0有解．
设方程kx²+2kx-1=0的两个根分别是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-2，x₃x₄=-
1
k
∴当k＞0时，方程kx²+2kx-1=0有一个正根，
当k≤-1时，方程kx²+2kx+1=0没有正根．（11分）．
综上可得，当k∈（1，+∞）时，方程f （x）=kx²有四个不同的实数解．（13分）．