证明Ker(A)=Ker(A^2)当且仅当Im(A)=Im(A^2)

注意到Ker(A)包含于Ker(A^2),Im(A^2)包含于Im(A).当Ker(A)=Ker(A^2)时,于是r(A)=r(A^2)=n-dim(Ker(A)),即dim(Im(A))=dim(Im(A^2)).两个空间的维数一样,一个又是另一个的自空间,这两个空间是一样的.反之类似证明.