问题描述：
如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，
交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为（______，______）（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；
（3）设四边形OMPC的面积为S1，四边形ABNP的面积为S2，请你就x的取值范围讨论S1与S2的大小关系并说明理由；
（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？
交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为（______，______）（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；
（3）设四边形OMPC的面积为S1，四边形ABNP的面积为S2，请你就x的取值范围讨论S1与S2的大小关系并说明理由；
（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？
问题解答：
我来补答
（1）由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），
∴点P坐标为(x，3−
3
4x)（2分）
（2）设△NPC的面积为S，
在△NPC中，NC=4-x，NC边上的高为
3
4x，其中，0≤x≤4，
∴S=
1
2（4-x）×
3
4x=-
3
8（x-2）2+
3
2，
∴S的最大值为
3
2，此时x=2（3分）
（3）由图形知，S1=
1
2(OC+MP)•OM＝
1
2(3+3−
3
4x)•x
S2=S△ABC-S△PCN=
1
2•4•3−
1
2(4−x)×
3
4x；
当0＜x＜2时，S1＜S2；当x=2时，S1=S2；当2＜x＜4时，S1＞S2；（3分）
（4）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=
4
3．
②若CP=CN，则，CN=4-x，PQ=
3
4x，CP=
5
4x，4-x=
5
4x∴x=
16
9．
③若CN=NP，则CN=4-x．∵PQ=
3
4x，NQ=4-2x，在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2
∴（4-x）2=（4-2x）2+（
3
4x）2，∴x=
128
57．
综上所述，x=
4
3，或x=
16
9，或x=
128
57．（3分）
∴点P坐标为(x，3−
3
4x)（2分）
（2）设△NPC的面积为S，
在△NPC中，NC=4-x，NC边上的高为
3
4x，其中，0≤x≤4，
∴S=
1
2（4-x）×
3
4x=-
3
8（x-2）2+
3
2，
∴S的最大值为
3
2，此时x=2（3分）
（3）由图形知，S1=
1
2(OC+MP)•OM＝
1
2(3+3−
3
4x)•x
S2=S△ABC-S△PCN=
1
2•4•3−
1
2(4−x)×
3
4x；
当0＜x＜2时，S1＜S2；当x=2时，S1=S2；当2＜x＜4时，S1＞S2；（3分）
（4）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=
4
3．
②若CP=CN，则，CN=4-x，PQ=
3
4x，CP=
5
4x，4-x=
5
4x∴x=
16
9．
③若CN=NP，则CN=4-x．∵PQ=
3
4x，NQ=4-2x，在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2
∴（4-x）2=（4-2x）2+（
3
4x）2，∴x=
128
57．
综上所述，x=
4
3，或x=
16
9，或x=
128
57．（3分）
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