向量的数量积定义式a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是如何得到的

向量的数量积定义式a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是如何得到的
这是有证明的还是人为规定的?数学书上只说|a|·|b|·cos〈a,b〉记作a`b,但是为什么在进行几何运算的时候就能够直接默认这个a`b就表示a乘b?（见人教版数学必修2下B的例题,他拆了一个和平方式子得到的a乘b）