证明函数依测度收敛若｛fk(x)｝在E上依测度收敛于f(x).证明｛|fk(x)|｝在E上依测度收敛于|f(x)|.

由于｛fk(x)｝在E上依测度收敛于f(x),
则任取e>0,lim m({x属于E：|fk(x)-f(x)|>e})=0 k趋于无穷大
又由于| |fk(x)|-|f(x)| |e时必有|fk(x)-f(x)|>e成立,
因此 集合{x属于E：| |fk(x)|-|f(x)| |>e}包含在集合{x属于E：|fk(x)-f(x)|>e}中
这样两集合间的测度必满足：前一集合测度小于等于后一集合的测度,即
0e})e})
令k趋于无穷大取极限,由夹逼准则可得中间的极限为0,
这就说明了｛|fk(x)|｝在E上依测度收敛于|f(x)|.