关于函数可积的充分条件

首先,我认为,你对连续函数的可积性的证明是了解的.(Hint:可以用振幅来证)
对于第一个问题,有一个简单证明：
你把有限个间断点(你是想说有限个第一类间断点吧)
x1,...,xn列出来,这样区间可以被分成n+1个小区间.
再利用区间可加性就搞定了.
第二个,你是想问lim∫f(x)dx的存在性吧.这个你可以参见广义积分(反常积分)的内容.