函数项级数与函数列的关系可类比数项级数与数列的关系.
函数项级数可以视为函数列的特例,对应"级数部分和"这个函数列.
反过来,对任意函数列,存在唯一的函数项级数,使函数列为级数的部分和.
因此二者在本质上是一样的.
函数列(或函数项级数)有很多种收敛的概念,比较基本的是逐点收敛:即在任意x处收敛.
但是逐点收敛难以保持函数的性质,例如[0,1]上的连续函数列x^n就逐点收敛到一个不连续的函数.
为此要考虑所谓的一致收敛,大意是不但在每个x处都收敛,而且收敛的速度还是一致的.
严格的说就是对任意ε > 0,存在N,使|fn(x)-f(x)| < ε对任意n > N和x成立.
这里一个N同时控制了所有x处的收敛性,即所谓一致.
对比一下逐点收敛:对任意ε > 0与x,存在N,使|fn(x)-f(x)| < ε对任意n > N成立.
这里的N是根据ε和x取的,是可能随x不同而不同的.
所以问题不在于函数列和函数项级数的区别,而是一致收敛的概念.
(1) 易见对0 ≤ x < 1,fn(x)逐点收敛到0,但x = 1时,fn(x)收敛到1/2.
由连续函数列的一致收敛极限仍连续,fn(x)不可能为一致收敛.
(2) 由均值不等式,|an(x)| ≤ |nx|/(n^(5/2)|x|) = 1/n^(3/2),对任意实数x成立.
由∑1/n^(3/2)收敛,根据Weierstrass判别法,∑an(x)在全体实数上(绝对)一致收敛.
(3) 部分和∑{0 ≤ k ≤ n} x^k·(1-x) = ∑{0 ≤ k ≤ n} x^k-∑{0 ≤ k ≤ n} x^(k+1)
= ∑{0 ≤ k ≤ n} x^k-∑{1 ≤ k ≤ n+1} x^k = 1-x^(n+1).
对0 ≤ x < 1收敛到1,而对x = 1收敛到0,极限函数不连续.
理由同(1),级数不一致收敛.
为免误解强调一下,连续函数列一致收敛是极限函数连续的充分非必要条件.
即由极限函数连续不能反过来得到函数列一致收敛.
个人感觉楼主对一致收敛的概念还比较陌生,也许难以理解上面的证明过程.
建议再好好看看教材,看几个不一致收敛的例子,掌握一致收敛的性质和几个基本的判别法.
再回来看这几道题就很容易了.
