求高手解答组合公式的证明

问题描述:

求高手解答组合公式的证明

有没有提供一点思路的?
1个回答 分类:数学 2014-11-07

问题解答:

我来补答
用C(n,k)表示n中选k的组合数,即有C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) ①.
已知有组合恒等式:C(n,k)+C(n,k+1) = C(n+1,k+1) ②.
于是∑{0 ≤ i ≤ n-1} C(n-1,i)·(i+1)!/n^(i+1)
= C(n-1,n-1)·n!/n^n+∑{0 ≤ i ≤ n-2} C(n-1,i)·(i+1)!/n^(i+1)
= n!/n^n+∑{0 ≤ i ≤ n-2} (C(n,i+1)-C(n-1,i+1))·(i+1)!/n^(i+1) (由②)
= n!/n^n+∑{0 ≤ i ≤ n-2} C(n,i+1)·(i+1)!/n^(i+1) - ∑{0 ≤ i ≤ n-2} C(n-1,i+1))·(i+1)!/n^(i+1)
= n!/n^n+∑{0 ≤ i ≤ n-2} n!/((n-i-1)!·n^(i+1)) - ∑{0 ≤ i ≤ n-2} (n-1)!/((n-i-2)!·n^(i+1)) (由①)
= n!/n^n+∑{0 ≤ i ≤ n-2} n!/((n-i-1)!·n^(i+1)) - ∑{1 ≤ i ≤ n-1} (n-1)!/((n-i-1)!·n^i)
= n!/n^n+∑{0 ≤ i ≤ n-2} n!/((n-i-1)!·n^(i+1)) - ∑{1 ≤ i ≤ n-1} n!/((n-i-1)!·n^(i+1))
= n!/n^n+n!/((n-1)!·n)-n!/(0!·n^n)
= 1.
另外从概率的角度有一种解释.
设一个袋子里有n个球编号1至n,每次从中取出1个球记录编号后再放回袋子里,
直到记录出现重复编号为止,记此时的抽取次数为X.
X是一个随机变量,易知有2 ≤ X ≤ n+1.
由抽取的独立性,可得P(X = i) = (n-1)/n·(n-2)/n·...·(n-i+2)/n·(i-1)/n
= (n-1)!/(n-i+1)!·(i-1)/n^(i-1)
= C(n-1,i-2)·(i-2)!·(i-1)/n^(i-1)
= C(n-1,i-2)·(i-1)!/n^(i-1).
因此所求证等式相当于∑{2 ≤ i ≤ n+1} P(X = i) = 1,而这是显然的.
 
 
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