已知S是一个非空集合,证明代数系统是群

根据定义按部就班地证明就行:
P(S) = {X | X 包含于 S};
A⊕B = A∪B - A∩B = A∩B' ∪ A'∩B; (A',B' 为 A,B 的补集)
(1) 封闭性;
对于任意 A,B ∈ P(S),设 X = A⊕B;
根据⊕的定义,可知:对任意 x ∈ X,有:x ∈ A∪B,所以 x ∈ S;所以:X 包含于 S
即:A⊕B∈P(S);
(2)结合律;
A⊕B⊕C
= (A∩B' ∪ A'∩B)⊕C
= (A∩B' ∪ A'∩B)∩C' ∪ (A∩B' ∪ A'∩B)'∩C
= (A∩B'∩C' ∪ A'∩B∩C') ∪ (A∩B ∪ A'∩B')∩C
= A∩B'∩C' ∪ A'∩B∩C' ∪ A∩B∩C ∪ A'∩B'∩C
= A'∩B∩C' ∪ A'∩B'∩C ∪ A∩B∩C ∪ A∩B'∩C'
= A '∩(B∩C' ∪ B'∩C) ∪ A∩(B∩C ∪ B'∩C')
= A'∩(B⊕C)∪ A∩(B⊕C)'
= A⊕(B⊕C)
(3)幺元; ∅
对于任意 X ∈ P(S);
X⊕∅ = (X'∩∅)∪(X∩∅') = (∅) ∪ (X∩P(S)) = X ∩ P(S) = X;
(4)逆元; X 的逆元为 X'
X⊕X' = (X∩X'')∪(x'∩X') = X ∪ X' = ∅;