取一副三角板按图①拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转一个大

（1）当α为多少度时,能使得图②中AB‖DC；
（2）当旋转至图③位置,此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形,并求其中一对的相似比；
（3）连接BD,当0°＜α≤45°时,探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况,并给出你的证明．
考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：一副三角板的角度常识和相似三角形的判定定理及性质可求解．（1）如图②,由题意∠CAC'=α,
要使AB‖DC,须∠BAC=∠ACD,
∴∠BAC=30°．
∴α=∠CAC'=∠BAC'-∠BAC=45°-30°=15°．
即α=15°时,能使得AB‖DC．（4分）
（2）易得α=45°时,可得图③,
此时,若记DC与AC',BC'分别交于点E,F,
则共有两对相似三角形：△BFC∽△ADC,△C'FE∽△ADE．（6分）
下求△BFC与△ADC的相似比：
在图③中,设AB=a,则易得 ．
在图③中,设AB=a,则易得AC= a．
则BC=（ -1）a,BC：AC=（ -1）a：a=1：（2+ ）
或（2- ）：2．（8分）
注：△C'FE与△ADE的相似比为：C'F：AD=（ - +1）：或（ + -2）：2．
（3）解法一：
当0°＜α≤45°时,总有△EFC'存在．
∵∠EFC'=∠BDC+∠DBC',∠CAC'=α,∠FEC'=∠C+α,
∵∠EFC'+∠FEC'+∠C'=180°
∴∠BDC+∠DBC'+∠C+α+∠C'=180°（11分）
又∵∠C'=45°,∠C=30°
∴∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°（13分）
解法二：
在图②中,BD分别交AC,AC'于点M,N,
由于在△AMN中,∠CAC'=α,∠AMN+∠CAC'+∠ANM=180°,
∴∠BDC+∠C+α+∠DBC'+∠C'=180°
∴∠BDC+30°+α+∠DBC'+45°=180°
∴∠BDC+α+∠DBC'=105°（11分）
在图③中,α=∠CAC'=45°
易得∠DBC'+∠BDC=60°
也有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°
综上,当0°＜a≤45°时,总有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°．（13分）点评：此题主要考查了相似三角形的判定定理及一副三角板的固定角度．需注意的是利用相似性质的时候找准对应的角、对应边．