计算∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz, 积分区域由曲面z=2-x^2 和z=x^2+2y^2所围成的闭区域,在线等

∵方程z=2-x²和z=x²+2y²,求得x²+y²=1
∴所围成的闭区域在xoy平面上的投影是圆S：x²+y²=1
故∫∫∫(x²+y²)dxdydz=∫∫(x²+y²)dxdy∫dz
=∫∫(x²+y²)[(2-x²)-(x²+2y²)]dxdy
=2∫∫(x²+y²)(1-x²-y²)dxdy
=2∫dθ∫r²(1-r²)rdr (作极坐标变换)
=4π∫(r³-r^5)dr
=4π(1/4-1/6)
=π/3.
说明：要快速判断曲面的图像,你必须要记住一些基本函数图像.例如此题中的,z=2-x²是
抛物曲面,z=x²+2y²是椭圆抛物曲面.