如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱AB的中点,求直线A1P与平面D1ABC1⊥所成角的正切值

连结A1D、AD1,交于E,连结PE,
∵四边形ADD1A1是正方形,
∴A1E⊥AD1,
∵AB⊥平面ADD1A1,
A1E∈平面ADD1A1,
∴AB⊥A1E,
∵AD1∩AB=A,
∴A1E⊥平面ABC1D1,
∴〈A1PE是A1P和平面D1ABC1所成角,
设正方体棱长为1,
A1P=√5/2,
PE^2=A1P^2-A1E^2=5/4-2/4=3/4,
PE=√3/2,
∴tan〈A1PE=A1E/PE=（√2/2）/（√3/2）=√6/3.
直线A1P与平面D1ABC1所成角的正切值为√6/3.