已知两个正三棱锥有公共底面,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上,若这两个正三棱锥的侧棱之比√3 :1

设两个正三棱锥分别为A-BCD;A'-BCD
BCD的中心为O', 外接球半径为R,球心为O
则AA'直径,∴ AB⊥A'B
∵两个正三棱锥的侧棱之比√3 : 1
不妨设AB：A'B=√3:1 ,令比的每一份为t
∴由勾股定理得 AA'=2R=2t
∴BO'⊥AA,BO'=AB×A'B/AA'=√3t×t/(2t)=√3t/2
∴BD=BO'/(√3/3)=√3BO'=3t/2
∴SΔBCD=√3/4×BD²=9√3/16t²
∵球的表面积=4πR²=4πt²
∴SΔBCD/S球面=（9√3/16t²)/(4πt²)=9√3/(64π)
这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表
面之比为9√3/(64π)