问题描述：
如图,已知抛物线与X轴相交于点A(-2,4),B(4,0),与Y轴交于点C(0,8).(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标; (2)设直线CD交X轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线C的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)过点B作X轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度?向下最多可以平移多少个单位长度?
问题解答：
我来补答
抛物线与X轴交于点A(-2,0),B(4,0),与Y轴交于点C(0,8）,故可设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4) 8=a(0+2)(0-4) a=-1 抛物线的解析式为：y=-(x+2)(x-4)=-(x^2-2x-8)=-(x-1)^2+9 顶点D的坐标(1,9) (2) CD方程为：y-8=(8-9)/(0-1)(x-0) x-y+8=0 OB的垂直平分线方程为x=2 设存在一点P坐标为（2,y0)满足条件,则有：√(4+y0^2)=|2-y0+8|/√2 2(4+y0^2)=y0^2-20y0+100 y0^2+20y0-92=0 y0=-10±8√3 故存在所求点P（2,-10+8√3）或（2,-10-8√3） (3) 过点B作X轴的垂线方程x=4,交直线CD于点F的坐标为（4,12）,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段EF总有公共点.可设平移后抛物线方程为：y=-(x-1)^2+9+y1 当向上平移后经过E时,E坐标（-8,0）满足抛物线方程,有：0=-(-8-1)^2+9+y1 y1=72 当向下平移后与EF相切时,EF的方程为：y=(12-0)/(4+8)(x+8) y=x+8 代入抛物线方程有：x+8=-(x-1)^2+9+y1 x^2-x-y1=0 此方程有两重根,故判别式＝0,即：1+4y1=0 y1=-1/4 故抛物线向上最多可平移72个单位长度,向下最多平移1/4个单位长度.
