已知如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、D1分别为AC、A1C1上的点．

（1）如图，取D₁为线段A₁C₁的中点，此时
A1D1
D1C1=1，
连接A₁B交AB₁于点O，连接OD₁．
由棱柱的性质，知四边形A₁ABB₁为平行四边形，所以点O为A₁B的中点．
在△A₁BC₁中，点O、D₁分别为A₁B、A₁C₁的中点，
∴OD₁∥BC₁．
又∵OD₁⊂平面AB₁D₁，BC₁⊄平面AB₁D₁，
∴BC₁∥平面AB₁D₁．
∴
A1D1
D1C1=1时，BC₁∥平面AB₁D₁，
（2）由已知，平面BC₁D∥平面AB₁D₁
且平面A₁BC₁∩平面BDC₁=BC₁，
平面A₁BC₁∩平面AB₁D₁=D₁O．
因此BC₁∥D₁O，同理AD₁∥DC₁．
∴
A1D1
D1C1=
A1O
OB，
A1D1
D1C1=
DC
AD．
又∵
A1O
OB=1，
∴
DC
AD=1，即
AD
DC=1．