曲线积分、曲面积分的题：计算圆柱面x^2+y^2=R^2界于xOy平面及柱面z=R+x^2/R之间的一块面积

直接算的话,有些困难,可以这样弄,
找一个始终垂直于圆柱面x^2+y^2=R^2且强度为1的
场源E=(x/√(x^2+y^2) ,y/√(x^2+y^2),0)
然后求出他们通过所截圆柱面的通量,因为通量=∫∫E*ds=1∫∫ds=S
所以 通量即为面积
在柱面∑1：x^2+y^2=R^2,xOy平面∑2,及柱面∑3：z=R+x^2/R所围成曲面∑,
∫∫∑ (Eds)=∫∫(x/√(x^2+y^2))dydz+y/√(x^2+y^2)dzdx+0dxdy
(高斯公式）
=∫∫∫(1/√(x^2+y^2))dxdydz
=∫∫∫drdθdz
=∫(0->2π)dθ∫(0->R)dr∫(0->R+r^2(cosθ)^2/R)dz
=7πR^2/3
因为∫∫∑1+∑2+∑3 (Eds)=∫∫∑ (Eds)=7πR^2/3
且易得,∫∫∑2 (Eds)=0
下面求∫∫∑3 (Eds)
由于∑3在xoz面的投影面积为0,所以dxdz=0
所以∫∫∑3 (Eds)=∫∫(x/√(x^2+y^2))dydz =∫∫[(x/√(x^2+y^2))*(-2x/R)]dxdy
=(-2/R)∫∫(rcosθ)^2drdθ
=-2πR^2/3
所以∫∫∑1 (Eds)=∫∫∑ (Eds)-∫∫∑2 (Eds)-∫∫∑3 (Eds)=(7πR^2/3)-(-2πR^2/3)
=3πR^2
所求曲面的面积为S=3πR^2
思路清晰的话,差不多都是圆域积分,用极坐标做,计算量不大
再问： 高斯公式我们没学过啊 还有场源又是什么 大神有没有简单点这节的方法啊
再答： 我再想想，应该有简单的方法的。。。

也可以这样做的，如果把所求曲面侧面展开的话，可以看做一个以圆x^2+y^2=R^2为底边，以z=R+x^2/R为高的曲边梯形。根据微积分，底边l的微元dl=√(1+(y')^2)dx=R/√(R^2-x^2) dx

所求面积S=∫hdl=∫zdl=∫(R+x^2/R)*[R/√(R^2-x^2)]dx
根据对称性S=4∫(0->R) (R+x^2/R)*[R/√(R^2-x^2)]dx=3πR^2
再问： ~\(≧▽≦)/~耶 这次的作业终于要做完了感谢！！！！
再答： 采纳吧亲