在三角形ABC中,CD⊥AB,∠BCD=2∠ACD,垂足为D,如果BD=3AD,求证:∠C=90°

问题描述:

在三角形ABC中,CD⊥AB,∠BCD=2∠ACD,垂足为D,如果BD=3AD,求证:∠C=90°
只学到了直角三角形的性质与勾股定理
1个回答 分类:数学 2014-12-07

问题解答:

我来补答
过点C作∠BCD的平分线CE交BD于E点
∵∠BCD=2∠ACD
∴∠BCE=∠ECD=∠ACD
∵CD⊥AB
∴∠EDC=∠ADC=90°
又CD=CD(公共)
∴ΔEDC≌ΔADC
∴ED=AD
∵BD=3AD
∴BE=BD-ED=3AD-AD=2AD=2ED
∵CE是∠BCD的平分线
∴CB/CD=BE/DE=2
(角平分线定理,证明如下:
在线段CB或其延长线取一点F,连接DF,使得∠CDF=∠CBE
则在ΔCDF和ΔCBE中,
∠DCF=∠BCE(角平分线)
∠CDF=∠CBE(作图)
∴ΔCDF∽ΔCBE
∴DC/DF=BC/BE………………………………(1)
∠DFC=∠BEC
∴∠DFE=∠DEF(等角的补角相等)
∴ΔDEF是等腰三角形,DE=DF………………(2)
把(2)代入(1),得:
DC/DE=BC/BE
变形,即得:
BC/CD=BE/DE)
在RtΔBDC中,∠BDC=90°,BC=2CD,
则∠BCD=60°
(特殊直角三角形性质,证明如下:
设点P为线段BC的中点,则有BP=CP=CD
过点P作PQ⊥BD于Q点,并连接PD
∵∠BQP=∠BDC=90°
∴PQ‖CD
∴BQ/DQ=BP/CP=1,即BQ=DQ
∴ΔBQP≌ΔDQP
∴BP=DP
在ΔPCD中,PD=CP=CD
∴ΔPCD是正三角形
∴∠PCD=60°)
∵∠BCD=2∠ACD=60°
∴∠ACD=30°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=30°+60°=90°
 
 
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