不定积分∫1/[(1-x²)的3/2 ]dx、∫x^5(2-5x^3)的2/3 dx,

问题描述:

不定积分∫1/[(1-x²)的3/2 ]dx、∫x^5(2-5x^3)的2/3 dx,
1个回答 分类:数学 2014-12-14

问题解答:

我来补答
1、
∫ dx/(1-x²)^(3/2),x=sinz,dx=cosz dz,z∈[-π/2,π/2]
= ∫ cosz/(cos²z)^(3/2) dz
= ∫ cosz/cos²z dz
= ∫ sec²z dz
= tanz + C
= x/√(1-x²) + C
2、
∫ x^5*(2-5x³)^(2/3) dx,u=2-5x³,du=-15x² dx
= (1/75)∫ (u-2)*u^(2/3) du
= (1/75)∫ (u^5/3 - 2u^2/3) du
= (1/75)(3/8)u^(8/3) - (2/75)(3/5)u^(5/3) + C
= (1/200)(2-5x³)^(5/3) - (2/125)(2-5x³)^(5/3) + C
= (-1/1000)(25x³+6)(2-5x³)^(5/3) + C
再问: 第一题是设Z=1-x² 吗?z是什么?第二步怎么直接从= ∫ cosz/(cos²z)^(3/2) dz变成 ∫ cosz/cos²z dz 3/2去哪啦?= tanz + C = x/√(1-x²) + C 最后结果是怎么带进去的? 谢谢
再答: 第一题用了第二类换元积分法,用到三角函数代换法 设x=sin(z),即z=arcsin(x),arcsin(x)是反三角正弦函数,z是角度 cosz/(cos^2z)^(3/2) = cosz/[(cosz)^2]^(3/2) = cosz/(cosz)^(3/2*2) = cosz/(cosz)^3,之前那个cosz/cos^2z打错了,分母应该是3次方 = 1/cos^2x = sec^2x 答案转换那需要直角三角形辅助 之前设了x = sinz,sinz = x/1 = 对边/斜边,所以邻边^2= 斜边^2-对边^2 即邻边^2 = 1-x^2 邻边 = √(1-x^2) 所以tanz = 对边/邻边 = x/√(1-x^2)
 
 
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