关于微分方程的解法的问题

首先,只有线性的微分方程才可以这样解,非线性的不行.
对于线性微分算子L,L[u(t)+v(t)]=L[u(t)]+L[v(t)],所以如果x1(t)和x2(t)是方程L[x(t)]=f(t)的任何两个解,必有L[x1(t)-x2(t)]=0,于是只要能求出齐次方程L[x(t)]=0的通解,再求出L[x(t)]=f(t)的任何一个解,就可以得到方程的所有解.
下面再看特征值方法,记D是求导算子,设L=p(D),其中p是一个多项式,那么做变量代换
y1(t)=x(t)
y2(t)=x'(t)=Dx(t)
y3(t)=x''(t)=D^2 x(t)
...
这样就可以把L[x(t)]=0写成一个大的矩阵形式A(D)Y(t)=0,其中Y(t)=[y1(t),y2(t),...]^T.（这个试一下,写一个看看就知道了）
这里的A其实相当于多项式p的友阵(Frobenius阵),而特征值方法就是把通过把这个矩阵对角化(或者说化Jordan标准型)的方法来求解这个微分方程.