设f(x)在[0,1]上连续,且单调不增,证明∫(α,0)f(x)dx>=α∫(1,0)f(x)dx （0

证明：记F(α) = ∫(α,0)f(x)dx - α∫(1,0)f(x)dx
则 F'(α) = f(α) - ∫(1,0)f(x)dx
从而F'(α)单调不增,又 F'(0) = f(0) - ∫(1,0)f(x)dx ≥ f(0) - ∫(1,0)f(0)dx = 0
F'(1) ≤ 0
因此F'(α)先大于0,然后小于0；也就是说F(α) 先单调增加,然后单调减少.
因此F(α) 在[0,1]上的最小值在端点处取得.
而F(0) = F(1) = 0,
总而知在0