初中理解的函数和高中理解的函数在概念是一样的,都是从实数集的子集通过某个函数映射到实数集的子集,只是映射的函数不同.初中学的无非是线性函数和二次函数,学的无非也就是求最值；高中就会有很多,有指数函数、对数函数等等,而且次数也会更高,甚至函数可以看成是无穷次多项式（展开成幂级数）,这时研究他们就会用求导的方法,研究单调性,略微加一些可导性和连续性,研究的稍微多样一些.
大学所学的函数,那就相当有深度了.定义域是复数域,值域是复数域,这门学科叫复变函数；定义域是概率空间,值域为（可分）Banach空间（实数域或复数域就是可分Banach空间,数学专业高年级的概率论会研究抽象函数,低年级的概率论值域为实数域）,这门学科叫概率论；定义域为函数空间,值域为复数域,这门学科叫泛函分析.概念上仍然同初、高中差不多,但是因为研究的集合可以从数域扩充到很抽象的空间,如Lebesgue函数空间、Lp空间,李群、以及其他可测空间,再加上很多新的工具,比如微分工具、级数理论等等,再比如通过商空间,定义函数类,把几乎处处相等的函数看成一个函数（就像把奇数看成1,偶数 看成0,进行同余运算）,很多很多扩展,会诞生出很多很有意思也很难的学科.但是从概念看,只是把定义域与值域做了推广而已；从技巧上看,会用到大量的工具,有分析的、也有代数的.
因此你可以看出,集合论是数学的基础,而函数不是.记得奥赛老师给我们培训的时候就说过,实话告诉你们,集合才是数学的基础.当时我不信.后来一直学啊一直学,才发现集合的重要性.数学研究也一直在研究集合的结构、集合的推广.
如果有悬赏就多给些,我没财富了,有个问题要提,看在我打这么多字的份上,多给些吧.
