若非负数a b c满足a+b+c=1,求证:a/(1+a^2) +b/(1+b^2) c/(1+c^2)≤9/10

如果a,b,c中某一个数等于0,那么可以先将所证式化简,做法与a,b,c都不为0时类似,我直接写一个证明a,b,c都不为0的做法.
先证明一个基本不等式：对任意正实数x,y,z,有不等式 (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9 成立.
证明：(如果你知道Caychy不等式,那么这就是Cauchy不等式的直接推论)
将两个括号中的式子全部乘开,即 (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y).后面三个括号中都用均值不等式即,x+y+y/x>=2,x/z+z/x>=2,y/z+z/y>=2,于是可知 (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=3+2+2+2=9,因此上面的基本不等式成立.
回到原题.由均值不等式可知 1+a^2=8/9+(1/9+a^2)>=8/9+2/3a,同理 1+b^2>=8/9+2/3b,1+c^2>=8/9+2/3c,所以
a/(1+a^2) +b/(1+b^2) +c/(1+c^2)
=9,但是 a+b+c=1,(3a+4)+(3b+4)+(3c+4)=15,所以 1/(3a+4)+1/(3b+4)+1/(3c+4)>=9/15=3/5 (2)
由(2)知 4/(3a+4)+4/(3b+4)+4/(3c+4)>=12/5,用3减去不等式两边得到：
3-[4/(3a+4)+4/(3b+4)+4/(3c+4)]