线数:特征值重复的矩阵,如何对角化?

一个矩阵能对角化的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量.
所以你题目中的2阶矩阵若能对角化就要存在2个线性无关的特征向量.
现在矩阵M的两个特征值相等,全为3
设矩阵M的特征值为λ,存在非零向量x,使得Mx=λx,即(M-λE)x=0
即齐次线性方程组(M-λE)x=0的非零解即为矩阵M的对应于特征值λ的特征向量
现在矩阵M要有两个线性无关的特征向量,就说明齐次线性方程组(M-λE)x=0要有两个线性无关的解,即其基础解系中要有两个解向量
∴系数矩阵的秩R(M-λE)=0
但题中R(M-3E)=1,∴齐次线性方程组(M-λE)x=0至多只有一个线性无关的解
∴矩阵M无法对角化.
若矩阵A能解出n个线性无关的特征向量,就把这些特征向量排列为一个矩阵P,通过相似变换即可将A对角化,其对角阵的对角线上每个元素都是矩阵A的特征值,且位置与矩阵P中各特征向量的位置相对应.