线性代数证明可逆已知E+AB可逆(其中E为单位矩阵),试证E+BA也可逆,且有[(E+BA)-1]=E-B*[(E+AB

只要验证 (E+BA)*{E-B*[(E+AB)-1]*A} 与 {E-B*[(E+AB)-1]*A}*(E+BA) 都是单位阵E就行了.
(E+BA)*{E-B*[(E+AB)-1]*A}
=(E+BA)-(E+BA)*B*[(E+AB)-1]*A ( 利用(E+BA)*B=B+BAB=B*(E+AB) )
=(E+BA)-B*（E+AB)*[(E+AB)-1]*A
=(E+BA)-BA=E 即(E+BA)*{E-B*[(E+AB)-1]*A} 是单位阵E.
对第二式完全类似,注意利用 A*(E+BA)=(E+AB)*A 即可.