抛物线,通径的证明的已知抛物线y^2=2px(p>0),F为焦点1求证:过点F的所有弦中,最短的是通径2若弦AB过点(2

1求证:过点F的所有弦中,最短的是通径
设弦的两个点为A（x1,y1),B(x2,y2)所在的直线为y=k(x-p/2)
代直线入抛物线消去y得
k²x²-k²px+k²p²/4-2px=0
x1+x2=(k²p+2p)/k²,x1x2=p²/4
则AB²=(x1-x2)²(1+k²)
=[(pk²+2p)²/k^4-4p²/4](1+k²)
=4(1+k²)²p²/k^4=4p²(1+1/k²)²>4p²
显然当k趋近∞时AB取得最小值.实际上就是x=p/2时AB取得最小值,此时为通径
2若弦AB过点(2p.0),求证：OA垂直OB
设弦的两个点为A（x1,y1),B(x2,y2),所在的直线为y=k(x-2p)
OA,OB的斜率分别为y1/x1,y2/x2
OA垂直OB
y1/x1*y2/x2=-1
将直线方程代入抛物线消去y
k²x²-4pk²+4p²k²-2px=0
则x1*x2=4p²
将直线方程代入抛物线消去x
y²/2p-y/k-2p=0
则y1*y2=-4p²
则y1*y2/x1*x2=-1
OA垂直OB得证