问题描述：
在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0＜α＜120°），得△A1BC1，交AC于点E，AC分别交A1C1、BC于D、F两点．
（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．
（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．
问题解答：
我来补答
（1）EA1=FC．理由如下：
∵AB=BC，∴∠A=∠C，
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A1BC1，
∴∠ABE=∠C1BF，AB=BC=A1B=BC1，
在△ABE和△C1BF中，
∠A＝∠C1
AB＝BC1
∠ABE＝∠C1BF，
∴△ABE≌△C1BF（ASA），
∴BE=BF，
∴A1B-BE=BC-BF，
即EA1=FC；
（2）四边形BC1DA是菱形．理由如下：
∵旋转角α=30°，∠ABC=120°，
∴∠ABC1=∠ABC+α=120°+30°=150°，
∵∠ABC=120°，AB=BC，
∴∠A=∠C=
1
2（180°-120°）=30°，
∴∠ABC1+∠C1=150°+30°=180°，
∠ABC1+∠A=150°+30°=180°，
∴AB∥C1D，AD∥BC1，
∴四边形BC1DA是平行四边形，
又∵AB=BC1，
∴四边形BC1DA是菱形；
（3）过点E作EG⊥AB，
∵∠A=∠ABA1=30°，
∴AG=BG=
1
2AB=1，
在Rt△AEG中，AE=
AG
cos∠A=
1
cos30°=
2
3
3，
由（2）知AD=AB=2，
∴DE=AD-AE=2-
2
3
3．
∵AB=BC，∴∠A=∠C，
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A1BC1，
∴∠ABE=∠C1BF，AB=BC=A1B=BC1，
在△ABE和△C1BF中，
∠A＝∠C1
AB＝BC1
∠ABE＝∠C1BF，
∴△ABE≌△C1BF（ASA），
∴BE=BF，
∴A1B-BE=BC-BF，
即EA1=FC；
（2）四边形BC1DA是菱形．理由如下：
∵旋转角α=30°，∠ABC=120°，
∴∠ABC1=∠ABC+α=120°+30°=150°，
∵∠ABC=120°，AB=BC，
∴∠A=∠C=
1
2（180°-120°）=30°，
∴∠ABC1+∠C1=150°+30°=180°，
∠ABC1+∠A=150°+30°=180°，
∴AB∥C1D，AD∥BC1，
∴四边形BC1DA是平行四边形，
又∵AB=BC1，
∴四边形BC1DA是菱形；
（3）过点E作EG⊥AB，
∵∠A=∠ABA1=30°，
∴AG=BG=
1
2AB=1，
在Rt△AEG中，AE=
AG
cos∠A=
1
cos30°=
2
3
3，
由（2）知AD=AB=2，
∴DE=AD-AE=2-
2
3
3．
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