问题描述: 设向量组α1,α2,α3线性无关,证明:向量组β1=α1+2α2+α3,β2=α1+α2+α3,β3=α1+3α2+4α3 1个回答 分类:数学 2014-11-10 问题解答: 我来补答 证法1:设 k1β1+k2β2+k3β3=0则 k1(α1+2α2+α3)+k2(α1+α2+α3)+k3(α1+3α2+4α3)=0即有 (k1+k2+k3)α1+(2k1+k2+3k3)α2+(k1+k2+4k3)α3=0因为 α1,α2,α3 线性无关所以k1+k2+k3 = 02k1+k2+3k3 = 0k1+k2+4k3 = 0因为系数行列式1 1 12 1 31 1 4= -3 ≠ 0所以方程组只有零解:k1=k2=k3=0所以 β1,β2,β3 线性无关.另证:由已知(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)P其中P=1 1 12 1 31 1 4且由|P|= -3 ≠ 0 知P可逆.因为α1,α2,α3线性无关所以 r(β1,β2,β3)=r(P)=3.[参]所以 β1,β2,β3 线性无关. 展开全文阅读