一道大学证明题证明若f(x)在R内连续,且当x趋于无穷时f(x)极限存在,则f(x)必在R内有界.

设lim(x→∞)f(x)=A.
则由定义：任给ε>0,存在M>0,当|x|>M时,有|f(x)-A|0,也必存在M>0,当|x|>M时,有|f(x)-A|M时,有|f(x)|0,任给x属于[-M-1,M+1],有|f(x)|≤B
取C=max(|A|+1,B)
因此,任给x属于R：当x属于[-M-1,M+1]时,有|f(x)|≤B≤C;
当|x|≥M+1>M时,有|f(x)|