(1) 延长EH交BC于F,我们先证明角BFH是直角.
由已知,ABCD为等腰梯形且E为直角三角形AHD斜边的中点,则角FBH=角EAH=角AHE=角CHF.所以角FBH+角BHF=角CHF+角BFH=角CHB=直角.由此可知,角BFH是直角,从而BC垂直EH.
又BC垂直PH,所以BC垂直平面PHE,推出PE垂直BC.
(2) 过A点作BC的平行线交HE的延长线于G.由(1)的证明可知,AG垂直平面PGE,所以PG为PA在平面PHE上的投影,PA与平面PHE夹角值等于角APG的值.
由于PE为等腰梯形底面ABCD的高,由此三角形PAB为等腰三角形.又角APB=60,故PAB为等边三角形.角EAH=90-角ADB=30.等腰梯形ABCD的四内角和为360,且角HAB=角HBA=
角HCD=角HDC,由此可解得角HAB=45.所以HAB为直角等腰三角形,AB=AP=根号2*AH.又AG=sin30*AH=1/2*AH,故AG=1/(2*根号2)*AP.所以sinAPG=AG/AP=1/(2倍根号2),即所求角的正弦为1/(2倍根号2)=2倍根号2分之1.
