拉弗对政府收入和税率关系的命题就是众所周知的拉弗曲线.拉弗将政府收入和税率关系用一个抛物线描述,颇能说明问题.但是,关于拉弗的这个命题的证明和来源却少见提及.下面从几个简单的公认条件出发,用数学方法对拉弗曲线进行推证.
在政府收税的状况下,社会的收入Ys被分为两块：政府收入Yg和民众收入Yp.也就是：Ys＝Yg＋Yp
根据税率r的定义,政府收入方程是：Yg＝Ys．r；
则民众收入是政府税收后的剩余,即：Yp＝Ys（1－r）.
Ys来源于民众的创造.如果民众不去生产劳动,则政府税收就成了无源之水.但是,从个人自私的假定可以得出,民众只关心自己的收入,即只关心Yp的大小.民众创造财富Ys的积极性取决于对自己所得的期盼,进而受到税率r的影响.因此,对Yp的大小的预期是影响其生产劳动积极性的重要因素.
生产积极性可以用预期的社会收入与最大产出的比例表示,即Ys∕Yo.r是被政府收取的部分,1－r是留在民众手里的部分,不妨称之为“留率”.我们上面的分析表明,留下的部分越多,居民的生产积极性就越高.我们假定生产积极性随留率增加而增加的速度是均衡的,则上面的描述就是：
Ys∕Y0＝k（1－r）
k为正的系数.因为当r＝0时,Ys＝Yo,故k＝1；当r＝1时,Ys＝0.
变形即Ys＝Yo（1－r）.
我们将这个式子代入到政府收入方程,就是
这就是拉弗曲线的数学方程,它表述了当税率为0时,政府收入为零；而当税率为100％时,政府的收入也为零.
