问题描述：
设limx→0f（x）／x=1,且f‘’（x）＞0,证明：f（x）＞x.
问题解答：
我来补答
由lim[f(x)/x] =1 知 x->0时 f(x)必趋近于0,补充定义:f(0) =0
则 f '(0)=lim [ ( f(x)- f(0)) /(x- 0) ] = 1
构造函数 g(x)= f(x) -x,则 g '(x) = f '(x) -1,g"(x)= f"(x)>0
所以 g '(x) 是严格递增函数,当x >0 时g '(x) > g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) >0,即 f(x)> x
当 x < 0时 g '(x) < g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) < 0,即 f(x)< x
因此,个人感觉这道题似乎有些不严谨~
再问：
我这里有份答案，但我不知道最后一步f（x）是怎么得出来的，能帮我解释一下吗？谢谢。
再答： 那一步是用了2阶的泰勒展开式 对于任何函数f(x), 如果它二阶可导，则有
f(x) = f(x0)+ f '(x0) *(x-x0)+ f ''(r)/2 *(x-x0)^2
这里 x0 取了0罢了
还有我刚才推导的时候有个地方错了
x
则 f '(0)=lim [ ( f(x)- f(0)) /(x- 0) ] = 1
构造函数 g(x)= f(x) -x,则 g '(x) = f '(x) -1,g"(x)= f"(x)>0
所以 g '(x) 是严格递增函数,当x >0 时g '(x) > g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) >0,即 f(x)> x
当 x < 0时 g '(x) < g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) < 0,即 f(x)< x
因此,个人感觉这道题似乎有些不严谨~
再问：
我这里有份答案，但我不知道最后一步f（x）是怎么得出来的，能帮我解释一下吗？谢谢。再答： 那一步是用了2阶的泰勒展开式 对于任何函数f(x), 如果它二阶可导，则有
f(x) = f(x0)+ f '(x0) *(x-x0)+ f ''(r)/2 *(x-x0)^2
这里 x0 取了0罢了
还有我刚才推导的时候有个地方错了
x
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