已知 F1 F2 为双曲线C：x²-y²=1的左右焦点,点p在C上,∠F1PF2=60°,求三角形F

有公式：焦点三角形的面积 S=b^2*cot(θ/2) ,其中 θ=∠F1PF2 .
这里焦点三角形是指以双曲线上任一点与两个焦点为顶点的三角形.
证明：设 |PF1|=m ,|PF2|=n ,
则 |m-n|=2a ,两边平方得 m^2-2mn+n^2=4a^2 ,
又由余弦定理,m^2+n^2-2mncosθ=|F1|F2|^2=4c^2 ,
两式相减得 2mn-2mncosθ=4(c^2-a^2)=4b^2 ,
利用三角公式可得 2mn*(1-cosθ)=4mn*[sin(θ/2)]^2 ,
由此得 mn=b^2/[sin(θ/2)]^2 ,
所以,S=1/2*mn*sinθ=b^2*sinθ/[2(sin(θ/2))^2]
=b^2*2sin(θ/2)*cos(θ/2)/[2(sin(θ/2))^2]=b^2*cot(θ/2) .
代入可得 S=1*cot30°=√3 .
（同理可得椭圆焦点三角形面积 S=b^2*tan(θ/2) ）