设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一个公因式，证明：△ABC一定是直角三

证明：因为题目中的两个二次三项式有一个公因式，
所以二次方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0必有公共根，设公共根为x₀，
则

x02+2ax0+b2＝0   ①
x02+2cx0−b2＝0    ②
①+②得：
2x₀²+2（a+c）x₀=0
2x₀[x₀+（a+c）]=0
∴x₀=0或x₀=-（a+c）
若x₀=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，
所以公共根x₀=-（a+c）．把x₀=-（a+c）代入①式得（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，
整理得a²=b²+c²
所以△ABC为直角三角形．