设f(x) = x^m+x-1,g(x) = x^n+x^2-1.
设多项式带余除法f(x) = g(x)q(x)+r(x),余式r(x)为0或次数小于n.
注意由带余除法的步骤,这里的q(x)与r(x)都是整系数多项式.
∵f(x)/g(x) = q(x)+r(x)/g(x)在无穷多个正整数上取整值,而q(x)总取整值,
∴r(x)/g(x)在无穷多个正整数上取整值.
若r(x)非零,由其次数小于g(x),对x充分大,总有0 < |r(x)| < |g(x)|,比值不为整数.
至多只有有限个x使其为整数,矛盾.
∴r(x) = 0,g(x) | f(x),m ≥ n.
∴g(x) | (x+1)f(x)-g(x) = x^(m+1)+x^m-x^n
又∵g(x)与x^n互素,∴g(x) | x^(m+1-n)+x^(m-n)-1.
设h(x) = x^(m+1-n)+x^(m-n)-1.
∵h(x)不为零,g(x) | h(x),∴m+1-n ≥ n,m ≥ 2n-1 ①.
由g(x) | h(x),g(x) = 0的所有解都是h(x) = 0的解.
注意到g(0) = -1,g(1) = 1,∴存在b∈(0,1)使g(b) = 0,于是也有h(b) = 0.
观察两个等式:b^n+b^2 = 1,b^(m-n+1)+b^(m-n) = 1.
∵0 < b < 1,m+1-n ≥ n,∴b^(m-n+1) ≤ b^n,∴b^(m-n) ≥ b^2,∴m-n ≤ 2 ②.
综合①②得n+2 ≥ m ≥ 2n+1,有n ≤ 3.又由条件n ≥ 3,故n = 3.
代回得5 ≥ m ≥ 5,即m = 5.
最后,易验证m = 5,n = 3时f(x)/g(x) = 1-x+x^2,(m,n) = (5,3)是满足要求的唯一解.
