数学,连续函数定义等价

A.非充分非必要.
非必要:F(x) = x²连续.取A = (-1,1),A的内部 = A.
但F(A) = [0,1) ≠ (0,1) = F(A)的内部.
非充分:不知道是不是我想复杂了,这个例子构造的相当麻烦.
从解题的角度只需要上面非必要的例子就够了,不过出于完整性考虑还是给个构造.
首先有理数Q是实数R的一个子群(关于加法).
R可以写成Q的陪集(形如S(x) = {x+r|r∈Q}的集合)的无交并.
Q是可数集,R是不可数集,可知Q的陪集可以与R建立一一对应,设S(x)对应到f(x)∈R.
将这个对应写成函数,即将S(x)中的数都映到f(x),这样得到一个R上的函数F(x).
F(x)具有性质:在任何一个开集上,F(x)的值域都是R.
因此F(A的内部) = R = R的内部 = F(A)的内部.
又显然F(x)不连续,因此条件也不是充分的.
B.充分且必要.
必要性:若f(x)连续,则闭集的原像是闭集.
f^(-1)(B的闭包)是包含f^(-1)(B)的闭集,于是也包含f^(-1)(B)的闭包(闭包为包含其的最小闭集).
充分性:对任意闭集B,B的闭包 = B.f^(-1)(B)的闭包包含于f^(-1)(B的闭包) = f^(-1)(B).
于是f^(-1)(B)的闭包 = f^(-1)(B),即f^(-1)(B)为闭集.
闭集的原像是闭集,故f(x)连续.
C.非充分非必要.
和A选项是差不多的,A的两个例子直接适用.