I didn't remember-------her the book before.(give)

giving
remember doing表示记得已经做过某事.该句子想表达的是：我不记得以前给过她书.
再问： to do可以吗？
再答： 不可以哦，didn't remember to do 表示要去做某事，但是忘记了，也就是说还没做，表达的意思和forget to do相同，是另一种完全不同的用法。