在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO垂直于BO.求证直线AB过定点

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．则△AOB得重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为
y=3x^2+2/3
然直线AB的斜率存在,记为k,AB的方程记为：y=kx+b,（b≠0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,将直线方程代入y=x2得：x2-kx-b=0,则有：
△=k2+4b＞0①,x1+x2=k②,x1x2=-b③,又y1=x12,y2=x22
∴y1y2=b2；
∵AO⊥BO,∴x1x2+y1y2=0,
得：-b+b2=0且b≠0,
∴b=1,代入①验证,满足；
故y1+y2=k（x1+x2）+2=k2+2；
设△AOB的重心为G（x,y）,
则x=
x1+x2
3
=
k
3
④,y=
y1+y2
3
=
k2+2
3
⑤,
由④⑤两式消去参数k得：G的轨迹方程为y=3x2+
2
3
．
故答案为：y=3x2+
2
3
．