已知椭圆过点(1.1.5)俩个焦点为(-1,0(1,0 EF是其动点,直线AE与AF的斜率为相反数证EF斜率为定值.求

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已知椭圆过点(1.1.5)俩个焦点为(-1,0(1,0 EF是其动点,直线AE与AF的斜率为相反数证EF斜率为定值.求
1个回答 分类:数学 2014-09-19

问题解答:

我来补答
点(1,3/2)到焦点(-1,0)和(1,0)的和即
2a=√(1+1)²+(3/2-0)²+√(1-1)²+(3/2-0)²=5/2+3/2=4
a=2
c=1
b²=a²-c²=4-1=3
椭圆:x²/4+y²/3=1
设AE斜率为k,则AF为-k
直线AE:y=k(x-1)+3/2
直线AF:y=-k(x-1)+3/2
分别代入椭圆方程
AE代入:3x²+4[k(x-1)+3/2]²=12
3x²+4k²(x-1)²+12k(x-1)+9=12
(3+4k²)x²-(8k²-12k)x+4k²+12k-3=0
韦达定理
x1+x2=(8k²-12k)/(3+4k²)
点E的横坐标=(8k²-12k)/(3+4k²)-1=(4k²-12k-3)/(3+4k²)
点E的纵坐标=(-12k²-6k)/(3+4k²)+3/2
AF代入:3x²+4[-k(x-1)+3/2]²=12
3x²+4k²(x-1)²-12k(x-1)+9=12
(3+4k²)x²-(8k²+12k)x+4k²+12k-3=0
x1+x2=(8k²+12k)/(3+4k²)
点F坐标:x=(4k²+12k-3)/(3+4k²),y=(-12k²+6k)/(3+4k²)+3/2
Kef=[(-12k²+6k)/(3+4k²)+3/2-(-12k²-6k)/(3+4k²)-3/2]/[(4k²+12k-3)/(3+4k²)-(4k²-12k-3)/(3+4k²)]
=(-12k²+6k+12k²+6k)/(12k+12k)
=12k/24k
=1/2为定值
 
 
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