微积分题的证明设f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,且满足f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b

下面两种方法
证明1
先用反证法证明存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0
若不存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0,则在区间(a,b)内恒有f(x)>0(或f(x)0,x∈(a,b)则
f'(b)=(x→b-)lim[f(b)-f(x)]/(b-x)=(x→b-)lim[-f(x)]/(b-x)≤0.①
f'(a)=(x→a+)lim[f(x)-f(a)]/(x-a)=(x→a+)limf(x)/(x-a)≥0.②
则f'(a)f'(b)≤0这与题设矛盾,因此必存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0
可知g(x)=f(x)e^(-x)在[a,θ]及[θ,b]上满足罗尔定理
则存在θ1∈(a,θ),θ2∈(θ,b)使得g'(θ1)=g'(θ2)=0
由于g'(x)=[f(x)-f'(x)]e^(-x),得f(θ1)-f'(θ1)=0,f(θ2)-f'(θ2)=0
再记F(x)=[f(x)-f'(x)]e^x,则易知F(x)在[θ1,θ2]满足罗尔定理
则存在d∈(θ1,θ2),使得F'(d)=0
又F'(x)=[f'(x)-f“(x)+f(x)-f'(x)]e^x=[f(x)-f"(x)]e^x
即有f(d)-f"(d)=0得证.
证明2