1、全班同学做互相做握手的游戏,两人每握一次手,就每人各记一次.握过奇数次手的同学人数,应是奇数还是偶数?为什么?

1、设想每个人握过一次手以后,立刻在这个人名下画一横,叫做一个人次.因为每次握手都是在两个人之间进行,所以每握一次手,就在两个人的名下各画一横,增加2人次.由此可见,不管握过多少次手,可以肯定,握手的总人次一定是偶数.
　　把这些人临时分成两派：握过奇数次手的人,属于奇派；握过偶数次手的人,属于偶派.
　　一个握过偶数次手的人,名下的人次当然是偶数.若干个偶数的和,还是偶数.因而偶派的全部人次加起来,一定是偶数.
　　又因为
奇派人次=总人次-偶派人次,
　　偶数减去偶数,结果还是偶数.所以奇派的人次一定是偶数.
但是,奇派每人名下的人次都是奇数.奇数个奇数相加还是奇数,只有偶数个奇数相加才能得到偶数.所以,握过奇数次手的人,一定有偶数个.
2、
n盏灯开始都是亮着的.每盏灯拉动开关奇数次后会关上,拉动开关偶数次后又会点亮.分两种情况讨论：
一、当n是奇数时,（n－1）是偶数.
要使所有灯都关上,每盏灯都要拉动奇数次,奇数个奇数的和是奇数,n盏灯拉动开关的总次数必须是奇数；
每次拉动（n－1）个开关,（n－1）是偶数,无论拉动多少次,任意多个偶数的和是偶数,拉动开关的总次数只能是偶数.
所以当n是奇数时,按规定,不能将所有灯都关上.
二、当n是偶数时.
如下图,白点表示亮灯,黑点表示关灯,每次拉动（n－1）盏灯,黑白交界处有一盏没有拉动的灯：
开始时：○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ……
第一次：○ ● ● ● ● ● ● ● ● ……
第二次：● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ……
第三次：○ ○ ○ ● ● ● ● ● ● ……
第四次：● ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ……
第五次：○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ● ……
第六次：● ● ● ● ● ● ○ ○ ○ ……
…… ……
观察上面图示可以发现,当n是偶数时,每次拉动（n－1）盏灯,拉动n次,可以将n盏灯全部关上.