悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论,但表面上又能自圆其说的命题或理论体系.悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致. 悖论的成因极为复杂且深刻, 对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展,因此具有重要意义. 其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托悖论等等.
悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等.
概率悖论
概率悖论出自法国数学家莫里斯·克莱特契克,在他的《数学消遣》书中写道：“有两个人都声称他的领带好一些.他们叫来了第三个人,让他作出裁决到底谁的好.胜者必须拿出他的领带给败者作为安慰.两个争执者都这样想：我知道我的领带值多少.我也许会失去它,可是我也可能赢得一条更好的领带,所以这种比赛是对我有利.一个比赛怎么会对双方都有利呢?”一个比赛怎么会对双方都有利呢?-----------------------------------------------错!要不然怎么能有双赢呢?很容易表明,如果我们做出一个明确的假定来准确地限定条件,它就是一个公正的比赛.当然,如果我们已经得知比赛中的一个人系较便宜的领带,那么我们就知道这个比赛是不公平的.如果无法得到这类消息,我们就可以假定每一个的领带价值从0到任意数量（比如说一百元）的随便多少钱.如果我们按此假定构成一个两人领带价值的矩阵（这是克莱特契克在他的书中列出的）,我们就可看出这个此赛是“对称的”,不会偏向任何一个比赛者.一个比赛（或赌博）怎么会对双方都同时有利呢? 一个理发师只给“不给自己理发的人”理发,那么,他该不该给自己理发呢?给自己理发,违反了自己的规则,不给自己理发,还是违反了自己的规则!
逻辑悖论
逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言的,如果在一个公理系统中既可以证明公式A又可以证明A的否定元A',则我们说在这个公理系统 中含有一个悖论,因为这时A和A'在系统中是可证等价的.[1] 最著名的逻辑悖论是伯特纳德·罗素提出的理发师悖论.一个男理发师的招牌上写着：告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸,我也只给这些人刮脸.那理发师可以给自己刮脸么?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.伯特纳德·罗素提出这个悖论,为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来.某些集合看起来是它自己的元素.例如,所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果,所以它必然是此集合自身的元素.现在来考虑一个由一切不是它本身的元素的集合组成的集合.这个集合是它本身的元素吗?无论你作何回答,你都自相矛盾.
几何悖论
几何悖论所构造的图案是仅存在于2维平面世界里的图形,是一种通过素描,线描等立体绘画手法表现出3维立体世界中不可能存在的图像.“不可能台阶”是由英国遗传学家列昂尼尔·S·彭罗斯和他的儿子,数学家罗杰尔·彭罗斯发明的,后者于1958年把它公布于众,人们常称这台阶为“彭罗斯台阶”.在这个台阶里,永远找不到最高阶和最低阶,“不可能台阶”永远没有尽头.
统计悖论
假定有三个人—阿贝尔、伯恩斯和克拉克竞选总统.民意测验表明,选举人中有2/3愿意选A不愿选B,有2/3愿选B不愿选C.是否愿选A不愿选C的最多?不一定!如果选举人下表那样排候选人,就会引起一个惊人的逆论.三分之一的人,对选举人的喜好是：A,B,C；另外三分之一的人,对选举人的喜好是：B,C,A；最后三分之一的人,对选举人的喜好是：C,A,B.所以,有2/3宁愿选A而不愿选B；同样,有2/3宁愿选B而不愿选C；有2/3宁愿选C而不愿选A!这个悖论可追溯到18世纪,它是一个非传递关系的典型,这种关系是在人们作两两对比选择时可能产生的.人们也许已经很熟悉传递关系的概念.它适用于诸如“高于”、“大于”、“小于”、“等于”、“先于”、“重于”等关系.一般讲,如果有一个关系R使得xRy（即x对y是R关系）、yRz成立时,则xRz成立,这时R就是可传递关系.选举悖论使人迷惑,是因为我们以为“好恶”关系总是可传递的,如果某人认为A比B好,B比C好,我们自然就以为他觉得A比C好.这条悖论说明事实并不总是如此.多数选举人选A优于B,多数选举人选B优于C,还是多数选举人选C优于A.这种情况是不可传递的!这条悖论有时称为阿洛悖论,肯尼思·阿洛曾根据这条悖论和其他逻辑理由证明了,一个十全十美的民主选举系统在原则上是不可能实现的,他因此而分享了1972年诺贝尔经济学奖金.
时间悖论
最早是在科幻小说中提到的.这个悖论的必要前提是：人类可以随心所欲的控制三维空间之后的“第四维”——时间,能够回到过去或者将来.
在这个前提下,有多种“时间悖论”的表达方式.
最为著名的“时间悖论”一般称为“祖父悖论”：
某人回到过去,在自己父亲出生前杀害了自己的祖父.既然祖父已死,就不会有其父亲,也不会有他；既然他不存在,又怎么能回到过去,杀死自己的祖父呢?
与之对应的,既然有回到过去的悖论,也会有到达将来的“先知悖论”,表达如下：
某人到达未来,得知将发生的不幸结果A,他在现在做出了避免导致结果A的行动,到达结果B.那么结果A在未来根本没有发生,他又是如何得知结果A的呢?（既A与B不可能相遇的悖论）
就严肃的物理学理论而言,爱因斯坦的《相对论》指出,的确存在不违背已知的物理法则改变时间的可能性.但更多的只是一种科学幻想.为了解决“时间悖论”,也有多种假设,比如比较盛行的“平行宇宙”假说,认为我们的这个世界在宇宙中还有许多相似的“克隆世界”,当某人回到过去时,他就进入了另一个平行世界（即未来因为他的行动已经改变的世界）,再也不可能回到原来的世界.
