1³=1² 1³+2³=3² 1³+2³+3

可以得出
1³+2³+..+N³=（1+2+...+N）²=[N（N+1）/2]²=N²（N+1）²/4
证明
数学归纳法
当N=1时,
右边=1*4/4=1=左边
成立
假设当N=K时成立,K属于整数
即1³+2³+..+K³=K²（K+1）²/4
则N=K+1时
1³+2³+..+K³+（K+1）³
=K²（K+1）²/4+（K+1）³
=（K+1）²/4[K²+4（K+1）]
=（K+1）²/4（K²+4K+4）
=（K+1）²/4*（K+2）²
=（K+1）²（K+2）²/4
也就是说,当N=K+1时也成立
所以
1³+2³+..+N³=（1+2+...+N）²=N²（N+1）²/4
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