实数a,b,c,d满足0≤a≤b≤c≤d,且3a+4b+5c+6d=90.求a+b+c+d的最大和最小值

3a+4b+5c+6d
=4.5(a+b+c+d)-1.5a-0.5b+0.5c+1.5d
=4.5(a+b+c+d)+1.5(d-a)+0.5(c-b)
=90
4.5(a+b+c+d)=90-[1.5(d-a)+0.5(c-b)]
a≤b≤c≤d 1.5(d-a)+0.5(c-b)≥0,当且仅当a=b=c=d时取等号.
4.5(a+b+c+d)=90-[1.5(d-a)+0.5(c-b)]≤90,当且仅当a=b=c=d时取等号.
a+b+c+d≤90/4.5=20
a+b+c+d的最大值为20
3a+4b+5c+6d=6(a+b+c+d)-3a-2b-c
=6(a+b+c+d)-(3a+2b+c)=90
6(a+b+c+d)=90+(3a+2b+c)≥90,当且仅当a=b=c=0时取等号.
a+b+c+d≥90/6=15
综上,得a+b+c+d的最大值为20,最小值为15.
再问： 3a+4b+5c+6d =4.5(a+b+c+d)-1.5a-0.5b+0.5c+1.5d =4.5(a+b+c+d)+1.5(d-a)+0.5(c-b) 为什么要这样分？ 有什么方法吗？
再答： 此类题目，想求最大值就作差，想求最小值就作和。 像本题： 想求最大值，就想方设法构造出 k(a+b+c+d)≤90+M (k、M为参数)，M尽量取小； 想求最小值，就想方设法构造出k(a+b+c+d)≥90+M (k、M为参数)，M尽量取小。 这么浅显的道理不用多讲了吧 对于本题，取4.5，不过是想使其中未知量的系数相等，便于作差。